数学王国的浪漫探险者

我和林伟老师相识始于2003年，那一年，他加盟我校，我们成为同事。

初见林伟，其貌不扬，个子不高，皮肤黝黑，是典型的粤西雷州半岛的汉子。他正直率真，喜欢探究问题，具备学人的潜质。

深入交往后，你会发现，林伟在平凡的外表下，有着炽热的内核。

林伟是有思悟的数学教师

林伟在教学中观察到学生们有这样一个特点：喜欢用学到的知识去解释或解决问题，哪怕有小小成功，也喜出望外。于是，他着力引导学生变苦学为乐学，变厌学为乐学。他在教学中努力使学用结合起来，让学生利用所学的知识参与实践。这样一来，连平时最不愿意开口的学生也跃跃欲试，争相回答问题。新颖有趣的课堂教学方法，大大激发了学生学习数学的积极性。

林伟认为，一个好的数学教师，不仅要研究教法，而且要研究学法，只有“授人以渔”，才能使学生达到“不需要教”的境界。他致力于课堂教学改革，更新教学方法，优化教学过程。每次开讲新课，他都预测可能出现的问题，上课时先介绍有关背景，并以生活中的实例和学生一起讨论。如在讲《数学归纳法》一课时，如果学生们不理解数学归纳法的实质，就只能机械地效仿和死记硬背。因此，开始讲课时，林伟先向学生介绍陈景润与“哥德巴赫猜想”。从中深刻阐述数学归纳法的实质和作用，介绍归纳、猜想对人类认识发展的贡献。接着，他以实例和学生一起讨论。通过师生的共同活动，学生学的主动，掌握的自如，重点和难点逐一突破。

林伟是有梦想的数学教师

林伟以做一名“学者型”教师为目标追求。他常常这样告诫自己：教师，不仅仅向学生传道、授业、解惑，还要使学生德、智、体、美、劳全面发展。因此，教师除了要有爱心和奉献精神外，更要有广博的知识、扎实的功底和较高的业务水平。

他不甘平庸，自费订阅了多种数学和教学理论杂志，课余闲暇，他都沉浸在书的世界里，不断地汲取理论的精华，为教学和科研奠定了厚实的基础。

作为一名教学二十多年的数学教师，他对思维学导式数学教学颇有建树。他认为，数学是以思维为核心的一门科学，思维起点选择、组织思维程序，最后得出结论是课堂结构图的三条线。第一条是问题线，主要创设符合学生实践的问题；第二条是思维线，改变学生的思维方式，是学习数学的一个重要方式；第三条是发展线，让不同的学生学习数学得到不同的发展。

他梦想将数学思想、数学思维、人文素养三者贯通，从“自发”到“自觉”，从“自由”到“自在”，最终成为一名学者型教师。

林伟是有成果的数学教师

他通过调查和研究，结合自己的教学实际，主持课题研究项目《以思维为核心，发挥学生能动性，开展“思维学导法”教学的实践》获广东省首届普通教育教学成果奖二等奖；《思维学导式数学教学概论》获广东省第八届普通教育教学成果奖一等奖；《思维学导式数学教学模式的研究与实践》获教育部基础教育国家级教学成果二等奖。

借鉴启发式教学和目标教学，林伟又摸索出一套“三主六环节”教学法。“三主”指以学生为主体、教师为主导、思维能力训练为主线；“六环节”指基础目标、交代目标、依据目标、围绕目标、紧扣目标、目标激励。该项研究课题在中国教育学会数学教育研究发展中心第八届数学研讨会上荣获二等奖，同时荣获广东省中小学教育创新成果奖二等奖。

林伟先后发表了二百多篇教学论文，编著了十多本书，成果丰硕。在中学数学教学园地里，他默默耕耘，正朝着“学者型”的理想目标扎实攀登。

汉代·徐干 《中论·治学》曰：“学者如登山焉，动而益高；如寤寐焉，久而愈足。”（学习就像登山,越往上爬越高；就像睡觉,睡得越久精神越充足）

王安石《游褒禅山记》有言：“夫夷以近，则游者众；险以远，则至者少。而世之奇伟、瑰怪、非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也。有志矣，不随以止也，然力不足者亦不能至也。有志与力，而又不随以怠，至于幽暗昏惑而无物以相之，亦不能至也。”（平坦而又近的地方，前来游览的人便多；危险而又远的地方，前来游览的人便少。但是世上奇妙雄伟、珍异奇特、非同寻常的景观，常常在那险阻僻远、少有人至的地方，所以，不是有意志的人是不能到达的。虽然有了志气，也不盲从别人而停止，但是体力不足的，也不能到达。有了志气与体力，也不盲从别人、有所懈怠，但到了那幽深昏暗、令人迷乱的地方却没有必要的物件来支持，也不能到达。）作者揭示了“志”、“力”、“物”三者之间的辩证关系，强调了“力”与“物”这两个客观条件的作用，又强调了“志”这个主观因素的关键作用，强调只要尽己之志，虽然不能达到目的，亦可“无悔”“无讥”，作者论述的既是游山之所得，又是治学处事之理，也是成就一切事业之道。

林伟竭力将“志”、“力”、“物”三者和谐统一，做数学王国的浪漫探险者。他以“淡泊名利，安贫乐道”为座右铭，他永不止歇地追求，他铭记老一辈数学家华罗庚的话：“树老易空，人老易松，科学之道，诫之以空，诫之以松。” 他现在是教学、教研、行政一肩挑三担。在工作、学习和生活中，以“无为”心态进行“有为”追求，将自己所学、所变、所成聚焦在自己爱做、该做、能做的事情上，这是一种觉悟、一种精神、一种创造。借鉴著名美学家朱光潜先生关于书法艺术“四境界”说，有专家认为教师专业发展也可以据此分为“四境界”：第一境界，职初型教师（“疵境”）；第二境界，成熟型教师（“稳境”）；第三境界，专家型教师（“醇境”）；第四境界，卓越型教师（“化境”、教育家）。窃以为，林伟已达“醇境”，正向“化境”进发，愿他早日成为一个名副其实的“家”！

黎坚荣

2015年6月

林伟，男， 正高级教师，1990年从事教育工作。现任深圳第二实验学校教师发展部主任，兼任学校学术委员会秘书长。广东省名师工作室主持人、广东省基础教育系统名教师、全国教育系统劳动模范、全国模范教师、享受政府特殊津贴、全国“十杰教师”提名奖获得者、第二届全国教育改革改革创新优秀教师奖、广东省南粤教书育人优秀教师、广东省师德建设先进个人、广东省中小学新一轮“百千万人才培养工程”名教师培养对象培养项目导师组数学学科专家、广东省普通高中教师培训指导教师、深圳大学教育硕士研究生导师、岭南师范学院客座教授、广东第二师范学院兼职教师、深圳市首届课程改革专家、省普教系统“百千万人才工程”高级研修班成员。

在教师培养方面，构建了“三位一体”教师培养体系，“四轮驱动”带动教师专业化发展。在教材教法、高考研究、教材编写等方面成效显著。主持和参与国家、省、市级课题10 多项，出版专著8部，主编和参编教育类书籍10多部，发表教研论文200多篇，有多篇被中国人民大学报刊中心的《中学数学教学》全文转载和索引。辅导学生参加各类竞赛有100多人次获奖，获数学竞赛优秀指导教师。教育教学成果有40项获奖，其中专著《思维学导式数学教学概论》荣获第八届广东省普通教育教学成果一等奖，《思维学导式数学教学模式的研究与实践》荣获教育部基础教育国家级教学成果二等奖。他的事迹被教育部师范教育司、中国教育电视台等单位联合摄制《师德启思录》（第四集）作为全国中小学教师职业道德教育公共必修课音像教材。《中国教育报》等刊物都做了报道。

第一辑  教材教法

“思维学导式”数学教学模式的探索与实践

初高中过渡阶段数学学习状况分析及教学探究

高中数学“以案导学，问题为线，自主学习”课堂教学模式实践研究

“思维学导式”在数学教学中的运用

引导学生主动参与课堂教学实践研究

第二辑  论教谈学

寓创造性的思考方法于数学教学之中

数学思想方法教学的实践与思考

结合数学新课标谈教学设计的特征与标准

科学把握数学新课标，提高课堂教学有效性

数学作业改革的新尝试

谈注意规律在数学教学中的运用

谈中学数学教学中创新能力的培养

中学数学课堂设问及其教学功能

用数学美的思想方法指导解题

培养学生数学学习兴趣的若干策略

狠抓基础  全面发展  学有所长

审题要津

优化思维意识，提高解数学题效率

优化思维策略，提高思维能力

调动思维“三性”，提高解题“三度”

浅谈数学思维技巧

第三辑  试题研究

在新颖中凸显能力本位

算法初步几种重要题型及解法

圆锥曲线中有关最值问题求解策略探微

高考题中有关分类讨论问题类型与解析

高考中“取值范围”题型及其解法探讨

不等式恒成立问题的类型及求解策略

第四辑  解法技能

活用整体思想，优化解题思路

构造法解题例说

第五辑  发展研究

推进素质教育，打造品牌学校

培养学生自主发展教育策略研究

促进学校内涵发展的课程校本化实践与思考

以人为本，发展内涵

浅谈公助民办学校的生存与发展

第六辑  教学管理

全面提高教学质量的管理策略探讨

落实“五句话”“五张纸”，提高教学管理效能

科组活动有效开展的几点要求

加强科研管理，提高校本科研新成效

开拓进取——开创双语教学新天地

第七辑  教师队伍

创新教师队伍建设，推动学校跨越发展

“四轮驱动”带动教师专业化发展

拓宽教师教育途径，促进教师专业化发展

探索教师专业化发展的新途径

创新引领发展，特色凸显内涵

第八辑  德育纵横

激活学生潜能，培养创新精神

构建中学生素质教育模式的实验

改进学校思想政治工作之我见

德育量化考评方法实践与体会

科学地创建班集体

以学生学习为主线，做好思想教育工作

强化团员意识，增强团组织的号召力

第一辑  教材教法

 “思维学导式”数学教学模式的探索与实践

一、问题的提出

目前，中学数学教育中普遍存在重结论轻过程、重知识轻能力、重运用轻创新的现象，课堂教学以讲授（甚至灌输）结论为主要模式，学生被牵着鼻子被动学习，学生首先接触的不是生动有趣的问题，而是抽象难懂的数学概念、性质、定理、法则等结论，教师“教”与学生“学”客观上存在着很多不协调，教学的思维与学生思维并不是同步发展。学生容易产生畏惧与厌恶心理，久而久之，必将导致学生对数学学习失去兴趣，视为畏途。从理论上分析，传统模式忽视了学生的主体作用，压制了学生的主动精神和个性。因此，在数学教学中如何使学生的数学思维能力协同发展是一个广泛而值得探讨的课题。

二、思维学导式数学教学的基本内涵

?何谓思维学导式数学教学

思维学导式数学教学，是以思维训练为核心，利用问题手段来启发学生思维本质，在学生现有心理条件下有效学习，达到传导知识、培养能力、提高智力三位一体的教学方法。简单来说，思维起点选择、组织思维程序、最后得出结论是课堂结构图也是构建的三条线。第一条线是问题线，它主要创设符合学生实践的问题；第二条线是思维线，它改变学生的思维方式，是学习数学的一个重要方式；第三条线是发展线，它让不同的学生学习数学得到不同的发展。

?思维学导式数学教学的思想

思维学导式教学强调以有目标、有秩序、富于启发的问题来引导学生，培养正确思维品质和思维方法。从“生”入手，由“生”而引起认识客观事物的心理需求，学生见其形，生其源，追其源，探其果，让学生通过在感知的基础上的思维、想象，达到理性上的全面认识。

思维学导式数学教学主张在施教过程中要“有序”和“启动”。

所谓有序，就是教学过程要符合学生认知规律，教师要充分发挥主导作用，引导学生掌握规律，有规律地去学习，循序渐进地发展智力、培养能力。教师对学生在各个思考递进的过程中，所起的作用是对学生思维的指点和引导，使学生通过自己的努力，掌握科学的学习和思考的方法。这个过程可以表示为：设置疑问—指导交流—点拨关键—矫正训练。

所谓启动，就是充分发挥学生的主体作用，使学生在教师指导下，围绕教学目的、教学目标、任务和要求，充分动眼观察、阅读，动脑思考，动耳听讲，接收教学信息，动口表达、讨论，动手练习研讨。学生在教师的设疑激学下，对学习产生兴趣，从典型实例和知识冲突中，引导个体的思考；然后通过讨论、交流、了解别人的想法，有对照、有比较，再结合教师的指导，寻找到科学的学习和思考的方法；最后运用所掌握的这些方法进行思维练习，从而掌握新知识，发展自己的智能，培养思维能力。在整个学习过程中，学生是主动的、积极的，充分体现了主体的作用，这个过程可以表示为：探索思考—交流所思—矫正思考—形成方法。

“思维学导式”教学是“有序”和“启动”有机地结合，成为互相联系的整体。它把“双基”教学与发展智能的任务有机地结合起来，两者水乳交融，相互促进，协同发展，使学生既具有丰富的知识与扎实的基本功，又有活跃的思维和强劲的能力。

?思维学导式数学教学的结构

思维学导式数学教学符合人们对事物认识由浅入深、由表及里、由此及彼的循序渐进规律。“导”体现了教师的主导作用，“学”是学生的主体体现。教师运用问题性手段充分唤启学生思维本质，力图使教材能表现为“活动”，呈现出“过程”，体现“问题——思维过程——数学素养——教学质量”的倾向，是具有“导学、助学、促学”作用的引导系统。

课堂结构简图如下：

问题线流程——围绕一个问题（主题），在创设一个有利于学生研究的情境、途径和教师启发引导的基础上，通过让学生自己动脑、主动探究、相互协作和寻求教师帮助等手段，达到问题解决的目的；思维线流程——通过思维载体——问题，来引发学生的感觉，调动学生的思维，达到完成认知的目的；发展线流程——通过问题和感觉产生动机，进而促进学生自己分析和处理信息来实际感受和体验知识的生产过程，进而完成人格的完善。通过思维能力、分析问题、解决问题能力的提高来奠定其终身发展的基础，形成了：

具体流程示意图如下：

实施“思维学导式教学”是个比较复杂的过程，各步骤之间关系比较密切，操作如下：

三、思维学导式数学教学的特点

思维学导式教学过程就是提出问题、解决问题的过程，把问题作为整个教学过程的出发点和落脚点。强调教学活动中以学生为主体，让学生真正成为学习的主人，形成自觉的、强烈的意愿和动机，最大限度地开发自身的潜能。这种共性主要表现为以下六点。

（一）指向性

思维学导式课堂教学区别于传统课堂教学的第一个显著特征是指向性，即必须根据学生超前学习中提出和存在的问题进行教学。使学生的自主学习能力不断得到表现、强化、培养，使教师的主导性不断转化为学生的主体性，进而达到“教师少教、学生多学”的理想效果。

（二）活动性

思维学导式教学强调的是学生作为主体对课堂教学的参与，其目的在于形成一个平等、和谐、热烈的教学气氛，宗旨是要变传统的被动的接受式学习为积极主动的参与式和探究学习，变重结果的学习为重过程和方法的学习。

（三）合作性

要培养学生三会：一是学会倾听，不随便打断别人的发言，努力掌握别人发言的要点，对别人的发言做评价；二是学会质疑，听不懂时，请求对方做进一步的解释；三是学会组织，主持小组学习，能根据他人的观点，做总结性发言。

（四）探究性

人们认识未知领域的过程就是自主探究的过程。参与探究对创新的三个层面：创新意识的提高；创新精神的形式；创新能力的积累，均起到催化推动作用。

（五）开放性

研究性学习过程是一个开放的教学空间。一是学生在研究性学习过程中的心态是开放的、自由的；二是教学内容既不拘泥于教材，也不局限于教师的知识视野，更接近学生的日常生活和社会生活实际；三是许多课题没有唯一正确的答案，只能从不同的角度、不同的方法、不同的需要去权衡利弊，进行评价，这就为学生的创新思维提供了广阔的天地。

（六）生成性

生成性是自主发展性课堂教学的最根本性，每节课都要让学生有实实在在的认知收获，同时也要有或多或少的生命感悟。从生成的内容来看，课堂生成既有显性生成，又有隐性生成，显性生成是直接的、表层的，隐性生成是间接的、深层的。

四、思维学导式数学教学的程序

（一）目标导向

教师课前确定指导内容和学生自学内容，上课后展示目标，并围绕教学目标开展教学活动。教学目标给学生的学习提供思维导向。其后，学生认定目标，初步建立迷宫，进而达到最佳学习氛围。

（二）激学导思

学生依据教学目标进行自学，体现了学生的主体地位，这是培养学生学习能力的重要手段。在学生自学前，教师提出自学要求和自学的具体方法，或者提示并设计思考题，为学生创设自学条件，以便学生根据教学目标学习时能够通过阅读、思考、归纳、分析等多种活动来统揽教材、理解重点、掌握难点，最终获取知识。教师在学生的自学过程中可做指导，随时解答学生提出的疑难问题，以充分调动学生的主体性、积极性，使其不断提高自学能力，发展智力，我们抓了如下几点：

（1）导读：教师指导学生阅读课本，根据教材内容、学生心理和教学时间等具体情况灵活掌握。

（2）导思：教师要注意多创设一定的教学情境让学生“异想天开”，启发学生积极思维。教师所提出的问题，要尽可能让学生通过思考来回答，以培养他们爱思考的习惯，提高其思维能力。

（3）导问：教师鼓励学生大胆地质疑问难，同时注意多到学生中去巡视，借以获得反馈信息。这样，便可以及时地了解学生的学情，以利于下一步有针对性地进行精讲（即重点讲解学生普遍犯疑的问题）。

（三）引议释疑

在自学过程中，由于学生各自能力不同，理解程度亦不相同。共议这一环节主要包括以下几个方面的内容：议疑难，探求解决问题的途径；议规律和关键，掌握思路；议“常发病”，寻根找源，弄清缘由；议争议，统一认识；议知识的结构和特征，提高学习效益；议创见和发现，培养创造思维。对讨论中未能解决的问题，我将其收集起来作为精讲的素材，进而培养学生分析问题的能力。教师在共议中要充分发挥“引”的作用，做到：

（1）增强“议”的目的性，使每个学生都明白“议”要解决什么问题，达到什么要求，从而积极参与。

（2）提高“议”的关注度，使每个学生都对“议”感兴趣，感到有问题要探讨，有矛盾要解决，有见解要发表。

（3）充分估计“议”的难易度，做好知识的铺垫，使学生“议”得起来。

（4）给学生留下“议”的准备时间，让学生能够用眼观察，动脑思考。

（四）精练强化

练习是学生综合运用其心智技能和动作技能的基本途径，贯穿于教学的全过程。一方面，将根据教学目标及内容编拟的基本练习——自学习题作为学生初读的线索，让学生以自学习题引路，边自学边训练，手脑并用，探索迷宫，以获取知识，发展能力；另一方面，根据学生反馈的自学结果，在讲授重点、分析难点的基础上，让学生再进行深化练习。这部分练习的难度适中，让学生经过努力可以完成或基本能够完成，防止其因不能完成该部分练习而造成压抑感或失去钻研下去的信心。我们设计练习的做法是：

（1）设计铺垫式的问答性练习和判断性练习，使学生弄清知识要点，进一步领悟新知识，以训练学生思维的准确性和深刻性。

（2）设计巩固性练习和全过程性练习，训练学生思维的条理性。

（3）设计加注原理性练习，使学生每做一题，都能了解把握变化之因、推理之据，以训练学生思维的逻辑性。

（4）设计变式性练习，训练学生思维的灵活性。

（5）设计互逆性练习，训练学生逆向思维能力和双向联想思维能力。

（6）设计编题性练习，训练学生思维的深刻性。

（7）设计猜想性练习、发现性练习和归类性练习，训练学生思维的独创性。

（8）设计改错性练习和翻译性练习，训练学生思维的广阔性和准确性。

（五）点拨提高

教师讲授是课堂教学中的重要环节，是教师主导作用的具体体现。它包括教师的启发教学、传授双基、反馈指导、培养能力等多种指导性活动。同时结合学生练习反馈的信息，教师进行精要的指导性评价，要做到讲到精要，讲出精华，讲得精彩，帮助学生深化所学知识，揭示解题规律，使之具有条理性、系统性和灵活性。教给学生分析问题与解决问题的方法。

（六）归纳自结

教师先进行导评，然后让学生自评、自结、自改答案，使学生对所学知识进一步深化和巩固，所学技能进一步综合化、熟练化。

在教学过程中，以上各环节并非是截然分开的，而是紧密联系的有机整体。目标导向是前提，激学导思是基础，引议释疑是关键，精练强化是手段，点拨提高为的是更加深化，归纳自结为的是进一步巩固；讲中有练，讲练结合；以自学为主，讲授为辅，练为红线，并贯穿于整个教学过程。

在教学过程中树立主体意识、目标意识、情感意识、动态意识、训练意识、反馈矫正意识。坚持主体参与原则、创设问题原则、暴露过程原则、民主和谐原则、因课而异原则、评价激励原则。实施动机激发策略、设疑促思策略、参与探究策略、交往互动策略、差异发展策略、体验成功策略。

五、思维学导式数学教学的体会与思考

通过“思维学导式”教学实践证明有以下几点体会：

（1）实践证明，“思维学导式”教学充分发挥了教师的主导作用，把教材变成学材，真正落实了学生的主体地位，发挥了学生的主动性和自觉性，促成了“教”与“学”两个过程协调同步，形成足够的教学动力。

（2）在实施每个环节中，都是根据教学内容和教学目标，教学中充分地利用反馈信息，各自根据反馈信息，调整学习与教学活动，学生能在学习中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，能够开发智力，培养能力，调动了学生的积极性，扩大了学生独立学习活动的作用。

（3）“思维学导式”教学能够协调地处理“教”与“学”的关系，从单纯的传授知识转变为传授知识与智能发展相结合。“思维学导式”教学提出了“问题中心说”，利用“问题解决”的手段，把教学目标具体问题化，思维训练渗透其中，使教学内容可见、可摸、可做，真正落实了把抽象的教材变成具体形象的学材。

（4）事实证明，该项实验获得了成功，实验效果显著。“思维学导式”教改实验过程中的一些具体措施，对大面积提高中学生教学学习质量具有普遍的指导意义，具有奠基性的意义和十分重要的应用价值。

（5）“思维学导式”教学能灵活地运用心理学、思维论、系统论、信息论、控制论及“课堂教学最优化”理论，将“教学过程最优化”与“学习过程最优化”结合起来，形成了较完整的“思维学导法教学最优化”体系。有关专家认为，这一课题研究成果值得推广，其在理论上有依据，实践上有基础，时机也较为成熟，其结果将必然会推进素质教育，加快数学教育改革的步伐。

初高中过渡阶段数学学习状况分析及教学探究

一、问题的提出

初中生经历奋力拼搏成功跨入高中，往往对自己的能力十分自信。同时，他们保持着强烈的求知欲望，对未知的一切感到新鲜，对新的学习生活抱有美好的期待，却对高中数学学习的难度大，作业多缺乏必要的心理准备。一段时间过后，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，有的学生甚至出现数学成绩严重滑坡现象从而产生畏惧感，动摇学好数学的信心，甚至失去学习数学的兴趣。在这个过渡时期造成这种现象的原因主要是初高中在学习内容、要求、思维和方法上的较大差异导致的高一学生对高中学习生活的种种不适应，如知识基础和结构、教学方法、思维方式、学习习惯等不适应。为了学生的全面发展，高一数学教学的首要任务是做好初高中教学的衔接，包括教材教学内容上的衔接，学生学习方法上的衔接，学生学习心理的衔接等。这就给高中教师提出了一个严肃的课题，即如何认真钻研教材，研究实施对象学生的心理情况，如何设计适合学生的教学方法，如何培养学生适应高中学习的思维能力和习惯，创造出最适合学生的教学方法，最终实现教学相长，以满足学生新的学习阶段的要求。

二、初高中数学学习衔接问题成因分析

（一）教材内容方面的衔接问题

初高中衔接是一项重要的教学任务，因此要做好初高中衔接教学，首先必须对初高中教材的变化了如指掌，全面了解初高中教材衔接的内容。通过调查分析研究，笔者将初高中教材进行对比，梳理需要衔接的内容（见表1和表2）。

表1 初中已删除需衔接的内容

知识点  具体衔接内容与要求

常用乘法公式与因?式分解方法

立方和（差）公式、两数和（差）立方公式、三个数的和的平方公式，推导及应用（正用和逆用），熟练掌握十字相乘法、简单的分组分解法，高次多项式分解（竖式除法）

分类讨论

含字母的绝对值，分段解题与参数讨论，含字母的一元一次不等式

二次根式

二次根式、最简二次根式、同类根式的概念与运用，根式的化简与运算

代数式运算与变形

分子（母）有理化，多项式的除法（竖式除法），分式拆分和乘方

方程与方程组

简单的无理方程，可化为一元二次方程的分式方程，含绝对值的方程，含有字母的方程，双二次方程，多元一次方程组，二元二次方程组，一元二次方程根的判别式与韦达定理，巩固换元法

一次分式函数

在反比例函数的基础上，结合初中所学知识（如平移和中心对称）来定性作图研究分式函数的图像和性质，巩固和深化数形结合能力

三个“二次”

熟练掌握配方法，掌握图像顶点和对称轴公式的记忆和推导，熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式，用根的判别式研究函数的图像与性质，利用数形结合解决简单的一元二次不等式

平行与相似

介绍平行的传递性，平行线等分线段定理，梯形中位线，合比定理，等比定理，介绍预备定理的概念，有关简单的相似命题的证明，截三角形两边或延长线的直线平行于第三边的判定定理

直角三角形中的计?算和证明

补充射影的概念和射影定理，巩固用特殊直角三角形的三边的比来计算三角函数值，识记特殊角的三角函数值，补充简单的三角恒等式证明，三角函数中的同角三角函数的基本关系式

图形  补充三角形面积公式（两边夹角、三边）和平行四边形面积公式，正多边形中有关边长、边心距等计算公式，简单的等积变换，三角形四心的有关概念和性质，中点公式，内角平分线定理，平行四边形的对角线和边长间的关系

圆  圆的有关定理：垂经定理及逆定理，弦切角定理，相交弦定理，切割弦定理，两圆连心线性质定理，两圆公切线性质定理；相切作图，简单的有关圆命题证明，介绍四点共圆的概念及圆内接四边形的性质，巩固圆的性质，介绍圆切角、圆内角、圆外角的概念，等分圆周，三角形的内切圆，轨迹定义

其他  介绍锥度、斜角的概念，空间直线、平面的位置关系，画频数分布直方图

表2  初中存在但已降低要求的内容

知识点  初中存在但已降低要求的内容

数  有理数混合运算只强调运算以三步为主，学生习惯性使用计算器，笔算、口算、心算能力减弱，减弱算术平方根的3条性质

式  因式分解只要求提取公因式法、公式法（平方差、完全平方），直接用公式法不超过两次，多项式相乘仅要求一次式间的相乘，无除法，没有最简二次根式的概念，根式化简较为简单，要求了解二次根式的概念，理解其加、减、乘、除运算法则，不再出现一次式这一概念，根式的运算要求低，绝对值符号内不能含有字母

一元一次不等式  一元一次不等式组限2个不等式，对不等式的整数解没有明确要求

三个“二次”  配方法要求低，只在解一元二次方程中有简单的要求，在二次函数中也不要求用配方法求顶点、最值，只要求用公式求，且不要求记忆公式和推导，没有用根的判别式研究函数性质

证明  删除繁难的几何证明，淡化几何证明的技巧；反证法，初中只要求通过实例，体会反证法的含义，了解即可；辅助线，中考只要求添加一条辅助线

其他  弱化概念，对有关术语如总体、个体、样本等概念不要求严格表述，课标中甚至没有“样本容量”的概念，几何中大大减少定理的数量

首先，从表1和表2中可以发现，初中数学教学内容在许多方面都有不同程度的删减，但相对于高中来说，对这些内容的要求却没有降低，也就是说初中数学删减的内容高中仍然是要求的，这就造成了初中高中在数学教学内容上的“衔接问题”。其次，在实际教学中，我们发现由于每个初中学校根据课程标准所制定的具体教学目标也有所不同，所以导致每个初中学校在教各知识点时讲的深度不一样，一个班级的学生的知识基础就参差不齐，这不是学生本身学习差异造成的，而是初中教材和其初中学校造成的，这也给高中教师的教学增加了难度。

（二）教学目标方面的衔接问题

《课程标准》中提出的三维目标要求，使得高中初中在教学目标上形成差异：首先，在知识与技能方面，初中对“认知目标”的要求为“知道→认识→理解”；而高中在“认知目标”要求上对学生知识的理解和应用能力的培养提出了更高的要求。其次，在过程与方法方面，初中要求较低，多为“认识”、“了解”、“感受”、“体验”、“初步学会”等层次；而高中要求较高且更具体化，对过程方法的体验提出了更高的标准。最后，在情感态度与价值观方面，初中只要求学生“在熟悉的生活情景中感受数学的重要性”；而高中更强调通过数学的探究活动，更加关注学生的个性发展和综合素质的培养，培养学生的创新精神和实践能力。

（三）教学方法方面的衔接问题

《初中数学课程标准》中指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”《高中数学课程标准》中强调：“发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程。”由于初中数学教学内容少，教学进度相对较慢，对重点内容及疑难问题教师均有较多的时间反复练习、答疑、解惑，这让即使是以记忆模仿练习作为主要学习方法的学生也能得到好成绩；而高中数学教材每课时内容饱满，教学进度相对较快，这对习惯了初中较慢教学进度的高一新生来说，无疑是一大挑战。对于部分习惯了初中慢教学，习惯“依样画葫芦”，缺乏举一反三、融会贯通能力的学生学习数学起来更是举步维艰。初高中教学上的快节奏，以及教学方法上的变革导致了许多学生的不适应，这就形成了教学方法上的衔接问题。这归根究底是学生学习方法的不适应所致，以下就讨论学习方法上产生的衔接问题。

（四）学习方法方面的衔接问题

初中生在学习方法方面普遍的问题有：第一，初中生普遍自主学习能力较弱，这体现在缺乏自我学习的管理，以及有效的自我反思。具体体现在不会课前预习、课后复习，以及在测验考试之后的自我反思，这就导致了初中生往往习惯于被动学习，而高中的学习往往需要学生自己去总结方法，自己去预习以及及时复习。第二，初中生往往习惯于机械接受学习，即主要是老师讲学生听，学生往往认为数学学习就是记忆模仿练习，初中数学知识要求在了解和记忆的层面上的成分比较多，考试时学生只要记住概念、公式、定理和法则及老师示范的例题类型，一般均能对上路子，取得好的成绩。而高一数学是从被动记忆向自主探索转变的拐点，一般高中题目不再是学生记住公式和模仿范例就能轻松解出来的，这其中还需要学生对于各种公式、概念的理解，再加上学生勤于思考，善于触类旁通、举一反三，归纳探索规律。高中“课程标准”中指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。”

（五）心理状态方面的衔接问题

初中生经过刚跨入高中，面临人生的新阶段，对新的阶段充满憧憬，有把高中课程学好的强烈愿望。但是他们很快会发现初高中课程目标、教学内容要求上的差距，只看到困难和问题，从自信转为自我怀疑，逐渐丧失学习的兴趣。有的学生表面听懂，也认真课后问老师，但在阶段考试时考不出好成绩，感到茫然一片，不知从何下手。也有部分学生中考结束后整个身心松弛下来，进入高一后，认为离高考尚远，松懈情绪继续弥散。即使出现了很多方面的衔接问题，也觉得还有时间，不慌不忙，这样不可避免地造成许多学生不适应高中阶段的学习，又不及时补救，让问题积累过多，导致回天乏力。总而言之，学生初进高中难以实现期望目标，缺乏自我调节能力下就会引起心理失调，丧失兴趣和信心。

（六）思维能力方面的衔接问题

初中数学较直观形象，初中生的思维在很大程度上属于经验型，接受新知识很依赖自己的生活亲身感受。初中数学教学内容本身较直观形象，见到的几何图形是平面图形，对抽象思维能力的要求不高，也养成了初中生用平面图形解决问题的习惯，导致他们把这样的经验移植到高中，往往误把立体图形当作平面图形来处理。这种思维上的负迁移作用，极大地影响了高中学生对立体几何知识的正确理解和掌握。《高中数学课程标准》中强调，“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力；人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维活动”，对学生的运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力都有很高的要求，高一新生思维能力还很弱，学习新知识必然遇到许多障碍。

三、初高中过渡阶段教学要求

以上我们分析了初高中教学内容、教师教学方法、学生学习方法、学习心理状态及思维能力这几个方面的差异，以此得出各个方面会产生的初高中“衔接问题”。针对于此，我们提出了对于初高中过渡阶段的教学要求。

（一）对教师的要求

1?研究课标，钻研教材

教师要做好初高中的教学衔接工作，这就需要高中教师应要钻研初中教材、课程标准和初中数学教改方向。熟悉初高中全部教材的体系和内容，把教材研究问题在文字表述、研究方法、思维特点等方面进行对比，明确新旧知识之间的联系与差异。在了解学生状况的前提下，根据高一教材和普通高中数学课程标准，找到必修一知识与初中数学知识的衔接点与生长点，做到有的放矢，做好初高中数学的衔接工作。

2?循序渐进，注意衔接

初高中在教学内容上的衔接就存在着许多的漏洞，这就要求高中教师必须熟悉初中知识所学的程度，高一学生的知识水平，确定恰当的教学起点。这里要注意两点问题，第一，适当补充初中舍去的部分知识，但要注意补充知识的顺序以及合理性。现在学校一般做法是边上高中新课边加入需要补充的知识，也有学校是在高中开学前的那个暑假就开始让学生做自己编写的衔接练习，还有学校自己编写衔接教材先把初中知识补完再开始上高中新课。这些方法都各有利弊，还需继续调研，总的来说需要结合实际学生的特点来选择补充方法。第二，在教学中注意利用初中已有知识帮助学生学习高中知识，抓住新旧知识的衔接点，在学生已有初中知识的基础之上，让学生更容易理解高中知识。这样，不仅复习巩固了初中知识，又理解掌握了新知识。如在必修二学习“空间等角定理”时，可先复习平面几何中的“等角定理”，引导学生加以区别和联系，让学生能更快理解新知。这实际是奥苏伯尔所提出的有意义学习，从教学内容来说，这也是初中高中衔接顺畅的关键所在。

3．因材施教，分层教学

前面所提到由于初中学校的要求不同，高一同一班的学生在知识水平、思维品质、学习能力等方面差异非常明显。针对于此，我们提出分层次教学方法，通过分层编组，分层指导，达到分层提高的目的。具体说来，可以有以下几种分层的基本方法。

（1）学生分层。对学生分层的前提是充分了解学生，这样才能真正做到“因材施教”。这一步，最好能够和班主任合作，不仅了解学生的原有知识结构，还要了解集体观念、道德观念、家庭背景、气质类型等，客观地分析学生，为有效分层打下基础。把班内学生分成不同的小组，以邻前后两桌四人为一组比较方便学习。为便于互帮互学，这四人应好、中、差适当搭配。教师要根据学生的最新实际，有层次间的升降变迁，重新分配角色，引入适当的竞争机制，特别鼓励他们，由“下”层向“上”层跳进。分层是手段，递进是目的，分层的成功，恰恰体现在这个“递进”之中。对激励学生上进心是非常有益的。

（2）例题教学的分层。例题教学的好坏对教学质量的影响颇大，通过例题教学，可以深化对概念的理解，发展学生的数学思维能力和逻辑推理能力。在分层的例题教学中，可从针对不同层次的学生选择不同要求的例题和发掘同一例题的不同层次要求上来体现。

（3）提问、练习的分层。教师应该针对不同类型的课，设计不同的课堂练习，以强化学生理解知识的能力。一堂课从开始到结束可以分为多个环节，在不同的时段，可以设计不同的课堂练习，课前小测简单练习，新学习的知识适应练习，小结阶段的巩固练习，这些都能极大提升学生在课堂中的参与度，提高教学效率，以达到辅助教学，巩固知识的目的。根据学生的层次不同，班级之间采用不同的课堂练习；同一班级中的不同层次学生可以分组完成不同练习。这样使得学生的数学才能得以发展。

（4）做好培优补差工作。教师应该让资优学生在共同的基础上获得选择性的发展。让学生在个性化的学习空间中，重新构建坚实的数学学科知识体系，探究数学的本质，掌握数学学科的思维方法，提升应用数学知识解决实际问题的能力。指导资优学生要侧重于对教材知识的梳理和深化；侧重于知识的拓展和提高，侧重于方法总结和思维技巧。相对培优的难度来说，补差也不容易。我们应从学生的实际出发，找学生谈心找出原因对症下药，制定切实可行的目标。我们更应注意学生的非智力因素对学习的影响。教师应记住布鲁姆的一句话：“只要提供足够的时间与适当的帮助，95％的学生能够学习一门学科，并达到高水平的程度。”

4．转变教学方式

在教学中我们发现同一班的学生的知识水平、思维品质、学习能力等方面差异明显，优生只是一小部分，而后进生却占了很大的比重。这主要是由于上面所提到的学生学习方法的单板性所决定的，因此教师要帮助学生转变其学习方式。这种转变的动力实际上需要教师首先转变其教学方式。由于高中更要求学生的探究举一反三能力，教师就要在教学中有意识地去培养学生的自主探究合作的能力，而大部分的高中教师实际上仍然沿用以往的“满堂灌”的学习方法，以板书范例让学生抄笔记的方式去教学，这样的教学方式不但不能让学生转变其学习方式，而且会让学生更加坚信数学就是记忆模仿练习，这不但不能解决衔接问题，还会让这个问题更严重。由于高中数学知识非常抽象，并且内容多，这与需要花大量时间去开展的发现法教学模式等产生了冲突，而这一矛盾需要教师根据课时内容去权衡选用合适的教学方式，不是每一节课都用发现法让学生合作探究，而是选取适当的题材，转变自我教学观念，在逐渐的改变中让学生潜移默化地改变观念以及学习方式。只有教师首先改变教学方式，才能培养学生的探究能力、应用知识的能力、思维能力及自主学习的能力等。

（二）对学生的要求

1．更新观念，转变角色

对于刚进的高一的新生，教师要加强引导他们进行角色的转变，改变观念，引导他们认识到初高中数学知识差别甚大，要由被动的学习转为主动的学习，积极适应高中数学的理论性、抽象性、严密性强的特点，需要在对知识的理解上下工夫，要多思考，多研究，不懂就问，学会举一反三，在老师的指导下掌握正确学习数学的方法，尽快地适应高一数学学习。

2．严格要求，打好基础

开学第一节课，教师就应对学生提出具体、可行的要求，让学生在严格要求之下逐渐提高适应能力。例如，要求学生做好课前的物质准备和精神准备，上课注意听讲，上课做到“五到”（眼到、耳到、口到、心到、手到），积极思考，勇于回答问题，要求作业规范化，独立完成，及时订正错题等。严格要求贵在持之以恒，贯穿在学生学习的全过程，培养学生良好的学习习惯和思维习惯。

3．抓好预习，提高听课针对性

高中数学因为其容量大的特点，预习显得更为必要和重要。预习数学中的新公式、定理、定义等地方，对一些疑难点，要反复思考，把握重点，找准自己课堂想要突破的地方。预习往往要求独立自主完成，因此学生要学会借鉴课本和一些资料上的例题。对预习案中的例题或资料中的讲解多揣摩，理解其中的奥妙，并写下来，然后可以试着用这些去解决书后的问题，不懂之处，做个记号，上课时认真留心听讲，才能做到一题道破，豁然开窍，充分发挥预习的作用。

4．及时完成复习和小结工作

数学复习的有效方法是回忆式复习加手动式实践：采取回忆式的复习做好复习工作，在不看书和笔记的前提下回忆上课老师讲的内容（例题、分析问题的思路、方法等），查漏补缺，使内容完善。这就使得当天上课内容巩固下来，同时也就检查了当天课堂听课的效果如何。同时，做好单元小结，理顺本单元（章）的知识网络，概括本章的基本思想与方法（应以典型例题形式将其表达出来）。

四、初高中过渡阶段教学策略&l